Часть I
ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ

В.А. Крутецкий. Математические способности и личность

Прежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, - она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности . На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество...

Составленные нами характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые нами дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому - критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику - захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими - очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства».

И наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом - за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервио-психических сил... Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является системе специально организованных упражнений, тренировка.

СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности, - способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению - по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости.

Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать нашу точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проивлением соответствующей способности в других областях... Иными словами, человек; талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д.И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули н единицы по языковым предметам. А.С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в В.Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч.Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В.Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А.С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А.В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н.В. Гоголь. М.Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л.Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению - одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Некоторые из наших испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности , в области математики.

Все сказанное выше позволяет нам сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде., - Те или иные особенности, умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряд случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики - мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Материалы нашего исследования - анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее - по биографическим материалам) - позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

1. часто (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;
2. острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;
3. большая (а часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;
4. характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность сума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности - мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос; «Математиком можно стать или им нужно родиться?» - мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, - многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А.Н. Колмогорова: «Талант , одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И.Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. - В.К.). Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы.

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, с.380-390, 397-400

Бийский Педагогический Государственный Университет им. Шукшина В. М.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА: Психология математических способностей.

Выполнил:

студент ФМФ III курса, гр. 191

Заиграев Александр Сергеевич

Научный руководитель:

Вольф Надежда Тимофеевна

Бийск, 2001г.

Что такое способности?

Способности - индивидуально выраженные возможности к успешному осуществлению той или иной деятельности. Включают в себя как отдельные знания, умения навыки, так и готовность к обучению новым способам и приемам деятельности. Для классификации способностей используются разные критерии. Так, могут быть выделены сенсомоторные, перцептивные, мнемические, имажинативные, мыслительные, коммуникативные способности. В качестве другого критерия может выступать та или иная предметная область, в соответствии с чем способности могут быть квалифицированы как научные (математические, лингвистические, гуманитарные); творческие (музыкальные, литературные, художественные); инженерные.

Кратко сформулируем несколько положений общей теории способностей:

1. Способности – это всегда способности к определенному роду деятельности , они существуют только в соответствующей конкретной деятельности человека. Поэтому они и выявлены могут быть лишь на основе анализа конкретной деятельности. Соответственно этому и математические способности существуют только в математической деятельности и в ней должны выявляться.

2. Способности – понятие динамическое. Они не только проявляются и существуют в деятельности, они в деятельности создаются, в деятельности и развиваются. Соответственно этому и математические способности существуют только в динамике, в развитии, они формируются, развиваются в математической деятельности.

3. В отдельные периоды развития человека возникают наиболее благоприятные условия для становления и развития отдельных видов способностей и некоторые из этих условий имеют временный, преходящий характер. Такие возрастные периоды, когда условия для развития тех или иных способностей будут наиболее оптимальными, называются сензитивными (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев). Очевидно, и для развития математических способностей существуют оптимальные периоды.

4. Успешность деятельности зависит от комплекса способностей. Равно и успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей.

5. Высокие достижения в одной и той же деятельности могут быть обусловлены различным сочетанием способностей. Поэтому принципиально можно говорить о различных типах способностей, в том числе и математических.

6. Возможна в широких пределах компенсация одних способностей другими, вследствие чего относительная слабость какой-нибудь одной способности компенсируется другой способностью, что в итоге не исключает возможности успешного выполнения соответствующей деятельности. А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев понимают компенсацию шире – говорят о возможности компенсации недостающей способности умением, характерологическими качествами (терпением, настойчивостью). По-видимому, компенсация того и другого вида может иметь место и в области математических способностей.

7. Сложным и не до конца решенным в психологии является вопрос о соотношении общей и специальной одаренности. Б. М. Теплов склонен был отрицать само понятие общей одаренности, безотносительной к конкретной деятельности. Понятия «способность» и «одаренность» по Б. М. Теплову имеют смысл только в соотношении с конкретными исторически развивающимися формами общественно-трудовой деятельности. Следует, по его мнению говорить о другом, о более общих и более специальных моментах в одаренности. С. Л. Рубинштейн справедливо отметил, что не следует противопоставлять друг другу общую и специальную одаренность – наличие специальных способностей накладывает определенный отпечаток на общую одаренность, а наличие общей одаренности сказывается на характере специальных способностей. Б. Г. Ананьев указал на то, что следует различать общее развитие и специальное развитие и соответственно общие и специальные способности. Каждое из этих понятий правомерно, обе соответствующие категории взаимосвязаны. Б. Г. Ананьев подчеркивает роль общего развития в становлении специальных способностей.

Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей . Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей – «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство – творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов – биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования . В этом плане можно выделить три важные проблемы.

1. Проблема специфичности математических способностей . Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Исследование проблемы способностей в отечественной психологии.

Основным положением отечественной психологии в этом вопросе является положение о решающем значении социальных факторов в развитии способностей, ведущей роли социального опыта человека, условий его жизни и деятельности. Психические особенности не могут быть врожденными. Это целиком относится и к способностям. Способности всегда результат развития. Они формируются и развиваются в жизни, в процессе деятельности, в процессе обучения и воспитания.

Итак, решающую и определяющую роль играют общественный опыт, социальное воздействие, воспитание. Ну а какова же роль прирожденных способностей?

Конечно, трудно определить в каждом конкретном случае относительную роль врожденного и приобретенного, так как и то и другое слито, неразличимо. Но принципиальное решение этого вопроса в отечественной психологии таково: врожденными способности быть не могут, врожденными могут быть только задатки способностей – некоторые анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы, с которыми человек появляется на свет.

Но какова роль в развитии способностей этих врожденных биологических факторов?

Как отмечал С. Л. Рубинштейн, способности не предопределены, но и не могут быть просто насаждены извне. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей. А. Н. Леонтьев, А. Р. Лурия также говорят о необходимых внутренних условиях, делающих возможным возникновение способностей.

Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются. Задаток не потенциальная способность (а способность не задаток в развитии), так как анатомо-физиологическая особенность ни при каких условиях не может развиваться в психическую особенность.

Несколько иное понимание задатков дается в работах А. Г. Ковалева и В. Н. Мясищева. Под задатками они понимают психофизиологические свойства, в первую очередь те, которые обнаруживаются в самой ранней фазе овладении той или иной деятельностью (например, хорошее цветоразличение, зрительная память). Другими словами, задатки – это первичная природная способность, еще не развитая, но дающая себя знать при первых пробах деятельности.

Однако и при таком понимании задатков сохраняется основное положение: способности в собственном смысле слова формируются в деятельности, являются прижизненным образованием.

Естественно, все вышесказанное можно отнести и к вопросу о математических способностях, как виду общих способностей.

Математические способности и их природные предпосылки (работы Б. М. Теплова).

Хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б. М. Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы - "Психология музыкальных способностей" и "Ум полководца", ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б. М. Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б. М. Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе "Ум полководца". Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б. М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б. М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Она очень избирательна, то есть удерживает прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б. М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б. М. Теплов приходит к выводу, что "умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца" (Б. М. Теплов 1985, стр.249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием "воля". Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б. М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б. М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б. М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде "Математическое творчество" Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом "озарения" необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия (Пуанкаре А., 1909).

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" (Адамар Ж., стр.98). Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В. А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики" (Крутецкий В.А.,1968).

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б. М. Теплов и С. Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В. С. Мерлин, 1986). Б. Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами "талант" и "призвание" (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э. А. Голубева 1993).

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В. А. Крутецкому.

Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.

1. Получение математической информации.

1) Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

3. Хранение математической информации.

1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

4. Общий синтетический компонент.

1) Математическая направленность ума.

Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

3. Память на цифры, числа, формулы.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Заключение.

Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не может быть и речи о точном и строгом понимании содержания этого понятия.

Рассмотренные в данной работе книги подтверждают это заключение. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что подтверждает следующий вывод.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы – теории математических способностей.

Итак, как утверждал В. А. Крутецкий: «Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес».

Список литературы:

Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
Ананьев Б.Г. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1980.
Голубева Э.А., Гусева Е.П., Пасынкова А.В., Максимова Н.Е., Максименко В.И. Биоэлектрические корреляты памяти и успеваемости у старших школьников. Вопросы психологии, 1974, № 5.
Голубева Э.А. Способности и индивидуальность. М., 1993.
Кадыров Б.Р. Уровень активации и некоторые динамические характеристики психической активности.
Дис. канд. психол. наук. М., 1990.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.
Мерлин В.С. Очерк интегрального исследования индивидуальности. М., 1986.
Печенков В.В. Проблема соотношения общих и специально человеческих типов в.н.д. и их психологических проявлений. В книге "Способности и склонности", М., 1989.
Пуанкаре А. Математическое творчество. М., 1909.
Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2-х т. М., 1989.
Теплов Б.М. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1985.

В исследование математических способностей внесли свой вклад такие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Торндайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Все ученые сходятся во мнении, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию, самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

А. Роджерс отмечает две стороны математических способностей: репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет математические способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями.

В статье «Психологи математического мышления» Д. Мордухай-Болтовский придавал особое значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движений смычка». Внезапное появление в сознании готового решения какой-либо задачи, которую мы не можем долго решить, мы объясняем бессознательным мышлением, которое продолжало заниматься задачей, а результат всплывает за порог сознания. По мнению Д. Мордухай-Болтовского, наш ум способен производить кропотливую и сложную работу в подсознании, где и совершается вся «черновая» работа, причем бессознательная работа мысли даже отличается меньшей погрешностью, чем сознательная.

Д. Мордухай-Болтовский отмечает совершенно специфический характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуща даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница.

Выделяют следующие компоненты математических способностей:

• -«сильная память» (память, скорее не на факты, а на идеи и мысли);
• -«остроумие» как способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отдаленных, совершенно разнородных предметах;
• -«быстрота мысли» (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному).

Д. Мордухай-Болтовский различает типы математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков - «алгебраистов» и «геометров». Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прорывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать, так как «геометр».

Отечественная теория способностей создавалась совместным трудом виднейших психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М. Теплова, а так же Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и Б.Г. Ананьева. Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей. Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями, навыками в области математики.

Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, говоря об индивидуальных различиях обучаемости детей, вводят понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявление которой называют «синдромом математической одаренности».

Большой вклад в разработку данной проблемы внес В.А. Крутецкий . Собранный им экспериментальный материал позволяет говорить о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одаренность. В.А. Крутецкий представил схему структуры математических способностей в школьном возрасте:

• · Получение математической информации (способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи).
• · Переработка математической информации
• А)Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
• Б)Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
• В)способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
• Г)Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.
• Д)Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
• Е)Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
• · Хранение математической информации.

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений, доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

· Общий синтетический компонент. Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно. Они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика, индивидуальный темп работы не имеют решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко. Также к нейтральным компонентам можно отнести вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные воспроизводить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трехзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счетчики» не давшие математике ничего, а выдающийся математик А. Пуанкре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.

Память на цифры, формулы и числа является нейтральной по отношению к математической одаренности. Как указывал академик А.Н. Коломогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Способность к пространственным представлениям, способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости также составляют нейтральный компонент.

Важно отметить, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя сказать в какой мере ее можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере ее можно отнести к вполне сложившимся одаренным математикам.

Известно, что в любой области науки одаренность как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одаренности всегда можно наметить какие-то основные типологические характеристики различия в структуре одаренности, выделить определенные типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие с одинаково высокими достижениями в соответствующей области.

Об аналитическом и геометрическом типах упоминается в работах А. Пуанкре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского, но с этими терминами у них связывается скорее логический, интуитивный пути творчества в математике.

Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решении задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А. Менчинская. Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным в) гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический - в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический - в алгебре. В.А. Крутецкий дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип. Мышление этого типа характеризуется преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлеченными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использовании предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализатором геометрической схемы или чертежа.

• -Геометрический тип. Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлеченными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.
• -Гармонический тип. Для этого типа характерно равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонента при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся четко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Представители этого типа успешно осуществляют образно-геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы имеют общее значение. Их наличие подтверждается многими исследованиями.

В зарубежной психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из исследований Ж. Пиаже. Пиаже считал, что ребенок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению . Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л. Шоанн пришел к выводу, что в наглядно-конкретном плане школьник мыслит до 12 - 13 лет, а мышление в плане формальной алгебры, связанное с овладением операциями, символами, складывается к 17 годам.

Исследование отечественных психологов дают иные результаты. П.П. Блонский писал об интенсивном развитии у подростка, обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах . Исследования И.В. Дубровиной дают основание говорить о том, что применительно к возрасту младших школьников мы не можем утверждать о сколько-нибудь сформированной структуре собственно математических способностей, конечно, исключая случаи особой одаренности. Поэтому «понятие математические способности» условно в применении к младшим школьникам - детям 7 - 10 лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже в начальных классах.

Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ Института психологии (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) показывают, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенности школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, считать, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может «стать» весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер. Здесь не может быть произвольности. Не может, например, способность к обобщению сложных математических отношений и методов сформироваться раньше, чем способность к обобщению простых математических отношений . Таким образом, возрастные особенности - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированы на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

В зарубежной психологии имеются работы, где сделана попытка выявить отдельные качественные особенности математического мышления мальчиков и девочек. В. Штерн говорит о своем несогласии с той точкой зрения, согласно которой различия в умственной области мужчин и женщин есть результат неодинакового воспитания. По его мнению, причины кроются в разных внутренних задатках. Поэтому женщины менее склонны к абстрактному мышлению и менее способны в этом отношении.

В своих исследованиях Ч. Спирмен и Э. Торндайк пришли к выводу, что «в отношении способностей большой разницы нет», но при этом отмечают большую склонность девочек к детализированию, запоминанию подробностей.

Соответствующие исследования в отечественной психологии были проведены под руководством И.В.Дубровиной и С.И.Шапиро. Они не обнаружили каких-либо качественных специфических особенностей в математическом мышлении мальчиков и девочек. Не указали на эти различия и опрошенные ими учителя.

Разумеется, фактически мальчики чаще обнаруживают математические способности. Победителями в математических олимпиадах чаще бывают мальчики, чем девочки. Но это фактическое различение надо отнести за счет разницы в традициях, в воспитании мальчиков и девочек, за счет распространенного взгляда на мужские и женские профессии. Это приводит к тому, что математика часто оказывается вне направленности интересов девочек.

Общая структура математических способностей (по В.А. Крутецкому)

В этом параграфе представлена общая структура математических способностей в школьном возрасте по В.А. Крутецкому. Она рассматривается исходя из основных этапов решения задач: I. получение математической информации; II. переработка математической информации; III. хранение математической информации. Каждому из этапов I - III соответствует одна или несколько математических способностей. Приведем описание каждой математической способности с выделением действий, которые присущи каждой способности и описание протоколов решения задач способными и неспособными учениками, описанные Вадимом Андреевичем Крутецким в книге .

Способности, необходимые для получения математической информации

Способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи

Характеристика способности. Эта математическая способность проявляется в стремлении к своеобразной формализации структуры математического материала в процессе его восприятия. Под формализацией понимается быстрое «схватывание» в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры, когда все содержательное (числовые данные, конкретное содержание) словно выпадает и остаются чистые соотношения между показателями, характеризующие принадлежность задачи или математического выражения к определенному типу. Формализованное восприятия - это своего рода обобщенное восприятие функциональных связей, отдельных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура.

выделять различные элементы в математическом материале задачи;

давать элементам математического материала задачи различную оценку;

систематизировать элементы математического материала задачи;

объединять элементы математического материала задачи в комплексы;

отыскивать отношения и функциональные зависимости элементов математического материала задачи.

Первые три действия направлены на восприятия математического материала задачи аналитически, другие же направлены на синтетическое восприятие математического материала задачи.

Особенности выполнения I этапа решения задач учащимися, обладающие этой способностью. Для выяснения особенности восприятия математического материала В.А. Крутецкий используется серия «Системы однотипных задач». Эта серия рассчитана на учащихся, еще незнакомых с формулами сокращенного умножения. Исследовалось, как учащиеся могут выделить основное, главное, существенное с точки зрения типа задачи, отвлечься от несущественного, второстепенного, от деталей. При помощи этой серии исследуется также процесс обобщения - подведение объектов под только что, сформировавшееся в своей основе понятия.

Рассмотрим решение одного из тестов серии «Системы однотипных задач» направленного на выяснения овладения этой способностью способными к математике и неспособными к математике учащимися. Серия представляет собой своеобразную «лестницу задач» одного и того же типа, от наиболее простой к весьма сложной. Выясняется, как сумеет испытуемый доказать, что данная задача, несмотря на ее внешнее отличие, принадлежит к тому же самому типу, и как, учитывая конкретные особенности задачи, он собирается решать ее по общей схеме решения задач установленного им типа.

Приведем наглядный пример, как справлялись с одной из задач этой серией способные к математике ученики и неспособные.

Способные ученики при решении задачи на применение формулу сокращенного умножения (a+b)2. Они легко выделяют существенные для данного типа моменты (сумма двух алгебраических выражений в квадрате), равно как и несущественные для данного типа (конкретная величина и характер алгебраических выражений, составляющие число a и b). Другими словами имела место своеобразная формализация структуры задачи при ее восприятии, когда задача (например, 6ах+1/2by)2 «схватывалась в такой форме: (+)2=.

Неспособные же учащиеся узкоограниченно представляли себе «первое» и «второе» число в этой формуле, им было трудно понять, что a и b обозначают любую величину и любое алгебраическое выражение. Поэтому они и не улавливали самостоятельно структурного «костяка» задачи.

Способности, необходимые для переработки математической информации

Способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики

Характеристика способности. Одной из особенности математики является алгоритмичность решения многих задач. Алгоритмом, как известно, называется определенное указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу некоторого типа. Алгоритм представляет собой обобщение, так как применим ко всем задачам соответствующего типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приемов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

логически рассуждают (доказывать, обосновывать);

оперируют специальными математическими знаками, условными символическими обозначениями количественных величин и отношений и пространственных свойств;

переводят на язык символов.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности применяется серия «Задачи на доказательство». Серия представляет собой систему однотипных задач, все усложняющихся доказательств.

Для примера возьмем решения задачи способным и неспособным учеником.

Вот как решал задачу способный ученик: «Доказать, что сумма любых трех последовательных чисел делится на 3 (при любом целом значении а)». Последовательные числа - это такие числа, когда каждое из последующих на единицу больше предыдущего, так кажется? Как же тут доказать? 2, 3 и 4 в сумме действительно делятся на 3; 12, 13, 14 тоже в сумме дают 39. Можно доказать так: сумма трех одинаковых чисел, разумеется, делится на 3. Да еще прибавляются 3 единицы (второе число на единицу, а третье - на две единицы больше первого), которые тоже делятся на 3. Можно и алгебраически доказать: х+(х+1)+(х+2)=3х+3=3(х+1). Последнее выражение всегда можно разделить на 3, каково бы ни было исходное число х.

Вот как справляется с подобной задачей неспособный ученик.

Задача. Задумайте любое число, умножьте его на число, больше задуманного на 6 и прибавить 9. Доказать, что полученный результат является квадратом.

Уч.: А что значит «является квадратом? Квадратом какого числа?

Эксп.: Есть числа, которые не являются квадратом какого-либо числа, например 13 или 20. А есть числа, которые являются результатом возведения в квадрат какого-либо числа, например 9 (т.е.3).

Уч.: Понятно. А здесь как доказывать?

Эксп.: Подумай. Примени, способ алгебраического доказательства. Сказано: «Задумайте любое число». Как в алгебре обозначается «любое число»?

Уч.: А теперь знаю: х(х+6)+9=х2+6х+9. Вот х2 и есть квадрат задуманного числа.

Эксп.: Ты взял только часть результата. А тебе нужно доказать, что весь полученный результат есть квадрат какого-то числа. Квадратом какого выражения является полученный тобой результат? Вспомни формулы сокращенного умножения?

Уч.: Знаю. Получится (х+3)2. (дает ответ не сразу).

Эксп.: Но всегда ли в результате получится квадрат?

Уч.: Не знаю.

Лишь после продолжительного разъяснения экспериментатора ответил: «По-моему, всегда, так как мы брали любое число».

Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов

Характеристика способности. Способность к обобщению математического материала рассматривается в двух планах: 1) как способность человека увидеть в частном, конкретном уже известном ему общее (подведение частного случая под известное общее понятие) и 2) способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее (вывести общее из частных случаев, образовать понятие). Одно дело - увидеть возможность применение к данному частному случаю уже известной ученику формулы, другое - на основание частных случаев вывести формулу, еще неизвестную ученику.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

видят сходную ситуацию в сфере числовой и знаковой символики (где применить);

владеют обобщенным типом решения, обобщенной схемой доказательства, рассуждения (что применить).

И в том и другом случае необходимо отвлечься от конкретного содержания и выделить сходное, общее и существенное в структурах объектов, отношений или действий.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На выявление этой способности В.А. Крутецкий предлагает серию задач, которая уже использовалась для проверки математической способности - способность к формализованному восприятию математического материала.

Приведем пример решения одной из задачи этой серии. После решения примера на применение формулы «квадрат суммы» дается способному ученику для решения пример: (C+D+E)(E+C+D). Ученик применяет формулу и пишет (C+D+E)2 и соединяет два члена - (C+(D+E))2 после чего непосредственно применяет формулу и раскрывает скобки.

Неспособные к математике ученик, усвоив формулу (a+b)2 и принцип рассуждения приступает к решению примера (1+а3b2)2.

Эксп.: А вот этот пример можно решить по формуле сокращенного умножения?.

Уч.: Здесь что-то другое - и a и b справа и не разделяются плюсом… (пишет: ». Эксп.: «Куда же делась единица?. Ученик молчит.

Эксп.: Ну а реши такой пример: (2x+y)2.

Ученик пишет, повторяя вслух формулу: 4x2+22xy+y2=4x2+4x+y2.

Эксп.: Верно. Вот так же решай и предыдущую задачу.

Уч.: А здесь что-то другое… квадрат первого - это.

Эксп.: Давай рассуждать вместе. Чтобы применить формулу, надо убедиться, что мы имеем дело с квадратом суммы двух чисел. Тебе ясно, что это квадрат?

Уч.: Вот здесь (показывает) цифра 2 показывает, что-то, что в скобках, надо помножить само на себя.

Эксп.: Верно. А в скобках двучлен? Покажи, где первый член, первое «число».

Уч.: …или нет, что я говорю… между членами должен быть знак плюс. Тут нет первого члена, только второй.

В дальнейшем ученик все же решает данный пример с помощью экспериментатора.

Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами

Характеристика способности. Наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении задач занимает определенное место и свернутые умозаключения, когда ученик не осознает правила, общего положения, в соответствии с которыми он фактически действует.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют действие - свертывание умозаключений.

То есть в процессе решения задач ученик не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют полную, развернутую структуру решения.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На выявление этой способности применяется серия «Система разнотипных задач». Приведем пример как способный ученик решал одну из задач этой серии.

Задача. Автомобиль прошел путь из А в Б со скоростью 20 км в час, а обратно со скоростью 30 км в час. Какова средняя скорость автомобиля за весь рейс?

Уч.: Ясно, что со скоростью 30 км в час он шел меньше времени, чем со скоростью 20 км в час (при одинаковом пути). А раз так, то средняя скорость не будет равна 25 км в час. Как же решить? (Дальнейший ход решения разбиваем на отдельные звенья.) Буду решать по рассуждению.

Скорость - это результат от деления пути на время. Значит, надо знать общий путь и общее время, затраченное на весь путь, и поделить общий путь на общее время.

Теперь ясно, как решить. Надо узнать весь пройденный путь. Если путь в один конец обозначим через х, то весь путь - 2х.

Теперь надо узнать время. Оно различно. Чтобы узнать время, надо поделить путь на скорость.

На путь туда потратили

А на путь обратно потрачено

А всего весь путь занял, значит, =

Делим теперь общий путь на общее количество часов:

2х: км в час.

Что касается неспособных, то у них не замечалось сколько-нибудь заметного свертывания даже в результате многих упражнений. На первых этапах овладения они постоянно путаются в громоздкой цепи умозаключений, которая с трудом, с помощью экспериментатора, закрепляется, постепенно превращается в относительно стройную систему. Ни о каком свертывании на этих этапах не может быть и речи, так как сам процесс рассуждения еще находится на стадии становления. Да и в дальнейшем они нуждались лишь в полном составе рассуждений.

Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности

Характеристика способности. Эта математическая способность выражается в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, в многообразие аспектов подходов к решению задач, в легкости перестройки сложившихся схем мышления и систем действий.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - переключаются на новый способ действия, т.е. с одной умственной операции на другую.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На эту способность направлены серия тестов «Задачи, наталкивающие на «самоограничение»». В эту серию отобраны задачи на рассуждение, отличающиеся следующими способностями: либо их условие обычно воспринимается с ограничением, которого в действительности не существует, либо в процессе решения решающий невольно ограничивает себя некоторыми возможностями, неправомерно исключая друг друга. В том и другом случае непроизвольное ограничение приводит к мысли о невозможности решения задачи.

Способный ученик решает задачу «В прямоугольном треугольнике один катет 7 см. Определить две другие стороны, если они выражены целыми числами».

«Построить треугольник по одной стороне? Что-то странное…Правда, еще угол дан - прямой, но все равно нельзя… (чертит). Ну, вот же видно - сторона и угол постоянны, а вот сколько разных треугольников. Может быть, задача не решается? (Эксп.: Нет. Задача решается».) Странно… (чертит) Ну вот же ясно видно, что бесконечное количество решений (еще чертит). Что-то я не столько решаю, сколько пытаюсь доказать, что она не решается... Может быть, вариантов-то много, но все они выражаются дробными числами (еще раз читает условие). Может быть только один случай, когда выражаются целыми числами? Наверное, так - в условии об этом не говориться, но можно понять…Но тогда это надо доказать… Если гипотенуза а, а неизвестный катет b, то a2=49+b2 по Пифагору, а 49=a2-b2…Ну и что дальше? a+b=49/a-b. Чувствую, что это что-то даст…Если a и b - целые числа, то и их сумма - целое число…Ну вот, ясно все: значит, 49 делится на a-b без остатка. А 49 делится только на 7…Но a-b не может быть равно 7, так как тогда и треугольника не будет (гипотенуза в точности равна двум катетам - две стороны равны третий)…Где-то тут есть решение, я его упустил… Но ведь 49 делится не только 7, а и на 1, и на 49. Ну вот теперь решение в кармане: 49 тоже не может быть - гипотенуза будет больше, чем сумма катетов. Остается одно: a-b=1, a a+b=49. Получится 25 см. гипотенуза и 24 см катет».

Неспособных учеников отличает инертность, косность, скованность мысли в сфере математических отношений и действий, устойчивый, стереотипный характер действий, навязчивое удерживание в сознании предшествующего принципа решений, способа действий, оказывающего тормозящее влияние при необходимости перестроить действие, что определяет ярко выраженную затрудненность и переключении от одной умственной операции к другой, качественно иной.

Стремления к ясности, простоте решения, экономности и рациональности решения

Характеристика способности. Эта особенность математического мышления способных к математике учащихся тесно связана с предыдущей. Для способных учеников весьма характерно стремление к наиболее рациональным решениям задач, поиски наиболее ясного, кратчайшего, а, следовательно, и наиболее «изящного» пути к цели. Это выглядит как своеобразная тенденция к экономии мысли, выражающееся в поисках наиболее экономных путей решения задач.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - находят наиболее рациональное решение задачи.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Эту способность Вадим Андреевич выяснял при помощи «Задачи на соображение логическое рассуждение». Для этого он сопоставлял реальный процесс рассуждения школьника с максимально развернутым. Сравнивал количество и характер «звеньев» в том и другом случае, они сопоставляются с характером и количеством звеньев действительно развернутой структуры.

Например, способный ученик решал задачу: «Найти наименьшее число, которое при деление на 3 дает остаток 1, при делении на 4 дает остаток 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4» Способный ученик прежде всего нашел наименьшее общее кратное данных чисел (60) и произнес: «60-2=58. Это число 58». По просьбе экспериментатора пояснил: «Я представил все числа и остатки столбиком и сразу увидел, что во всех случаях разница между делителем и остатком - 2. Значит, если добавить к искомому числу 2, то оно разделится на все числа без остатка. Наименьшее из таких чисел - 60. Но теперь уберем двойку - будем 58».

Неспособные учащиеся не обращают особого внимания на качество решения. Они прекращают работу после над задачей и не задаются вопросом: «А нельзя ли решить проще, яснее?».

Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении)

Характеристика способности. Под обратимостью мыслительного процесса понимается перестройка его направленности в смысле переключения с прямого на обратный ход мысли. Это понятие объединяет два разных, хотя и связанных друг с другом процесса.

Во-первых, это установление двухсторонних (или обратимых) ассоциаций (связей) АБ в противоположность односторонним связям типа АБ, функционирующим только в одном направлении.

Во-вторых, это обратимость мыслительного процесса в рассуждении, обратное направление мысли от результата, продукта к исходным данным, что имеет место, например, при переходе от прямой к обратной теореме.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - перестраивать мыслительный процесс с прямого на обратный ход мыслей.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности В.А. Крутецкий предлагал серию задач «Прямые и обратные задачи». В этой серии включены парные задачи - прямая и обратная. Обратными задачами условно называются те, которые по сравнению с исходными (прямыми) задачами при сохранении сюжета искомое входит в состав условия, а один или несколько элементов условия становятся искомыми.

Приведем пример как способные, и неспособные учащиеся решали эти задачи:

Способный ученик овладел типом решения по формуле «произведения суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел».

Ему предлагается разложить на множители выражение (x-y)2-25y8. Он тут говорит, что эта задача наоборот и тут уже есть разность квадратов и записывает выражение (x-y+5y4) (x-y-5y4). Свое решение он объясняет, что нужно подумать из чего получились квадраты и взять сумму этих чисел и помножить на разность.

Неспособный ученик с трудом, после большого количества упражнений, овладел способом решения задач по этой формуле.

Эксп.: Реши задачу 55=(ученик дает верный ответ). А теперь реши такую: какие числа надо перемножить, чтобы получить 25 (ученик дает верный ответ). Теперь смотри 55=25, а 25=55. Вторая задача обратная первой. Реши задачу (2x+y)(2x-y)= (ученик дает верный ответ). Правильно. Но если (2x+y)(2x-y)=4x2-4y2, то наоборот можно ли сказать, что 4x2-4y2= (2x+y)(2x-y)? (Ученик дает утвердительный ответ). А 9x2-4y2 чему равняется?

Уч.: Не знаю. Это какие-то чудные задачи. Мы такие не решали.

Эксп.: Да, не решали, но учимся решать. Вот ты подумай: чему равно произведение суммы двух чисел на их разность? Это ты знаешь.

Уч.: Произведение суммы двух чисел на их разность равняется квадрату первого минус квадрат второго.

Эксп.: Верно. А обратно можно сказать? Чему равна разность квадратов? Чему равно a2-b2?.

Уч.: a2-b2=(a+b)(a-b).

Эксп.: А 9x2-4y2 чему равно?

Уч.: (9x+4y)(9x-4y)…

Дальнейший ход беседы опускаем. Лишь после многократных пояснений и упражнений ученик научился решать задачи этого типа, да и только простейшие.

Способности, необходимые для хранения математической информации

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

Характеристика способности. Сущность математической памяти заключается в обобщенном запоминании типовых схем рассуждений и действий. Что же касается памяти на конкретные данные, числовые параметры, то она «нейтральна» по отношению к математическим способностям.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

запоминают типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы;

сохраняют в памяти типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы.

Особенности выполнения III этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Способные ученики в большинстве случаев довольно долго помнят тип решенной ими в свое время задачи, общий характер действий, но не помнят конкретных данных задачи, чисел. Неспособные, наоборот, помнят только конкретные числовые данные или конкретные факты, относящиеся к задаче. Если неспособный помнит, что решал «какую-то задачу с клетками и кроликами», или «что-то про рыбу, которая весит 2 пуда», то способный обычно гораздо чаще помнит тип задачи: «Решал задачу на различные сочетания частей целого - про рыбу, у которой хвост с головой весит столько-то, а голова с туловищем - столько-то, и хвост с туловищем - еще столько-то».

Выделенные способности тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те способности, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

Память на цифры, числа, формулы.

Способность к пространственным представлениям.

Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

В данную книгу избранных трудов видного ученого вошли его основные исследования по природе и структуре математических способностей школьников. Книга предназначена для психологов, педагогов и студентов, готовящихся к психолого-педагогической деятельности.

В.А. Крутецкий и его книга о математических способностях школьников

РАЗДЕЛ I.Состояние проблемы и задачи исследования

Глава I. Исследование математических способностей в зарубежной психологии

Глава II. Проблема математических способностей в русской дореволюционной и советской психологической литературе

Глава III. Постановка проблемы и задачи исследования

§ 1. Основные понятия

§ 2. Проблема и задачи исследования

РАЗДЕЛ II. Методика исследования и его организация

Глава I. Общая методика и организация исследования

Глава II.Гипотеза компонентов математических способностей как основа экспериментального исследования

Глава III. Система экспериментальных задач по исследованию математических способностей школьников

Глава IV. Организация экспериментального исследования

РАЗДЕЛ III. Анализ структуры математических способностей школьников

Глава I. Анализ неэкспериментальных материалов о компонентах структуры математических способностей школьников

Глава II.Анализ индивидуальных случаев математической одаренности детей

Глава III. Особенности получения информации о задаче (первичной ориентировки в ней) способными к математике школьниками

Глава IV. Особенности переработки полученной информации в процессе решения задач способными к математике школьниками

§ 1. Способность к обобщению математических объектов, отношений и действий

§ 2. Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий

§ 3. Гибкость мыслительных процессов

§ 4. Стремление к ясности, простоте и экономности («изяществу») решения

§ 5. Обратимость мыслительного процесса в математическом рассуждении (способность к быстрому и свободному переключению с прямого на обратный ход мысли)

Глава V. Особенности хранения математической информации (математического материала) способными к математике школьниками

Глава VI. Некоторые специальные вопросы структуры математических способностей школьников

§ 1. Математическая направленность ума

§ 2. Проблема внезапного решения («озарения», инсайта) в свете анализа компонентов математических способностей

§ 3. Малая утомляемость способных школьников в процессе длительной и напряженной математической деятельности

Глава VII. Типовые и возрастные различия в характеристиках компонентов математических способностей

§ 1. Типы структур (математических складов ума)

§ 2. Возрастная динамика развития структуры математических способностей

Глава VIII. Общие вопросы структуры математических способностей

§1. Общая схема структуры. Взаимоотношение компонентов

§ 2. Специфичность математических способностей

§ 3. Некоторые соображения о природе математических способностей

Основные труды В.А. Крутецкого

Литература

Предисловие

Вадим Андреевич Крутецкий был одним из крупных известных специалистов в области возрастной и педагогической психологии, в течение многих лет он плодотворно разрабатывал проблемы психологии личности и психологии способностей. Его перу принадлежит более 130 научных публикаций. Среди книг, им написанных, — «Психология подростков» (1959, 1965), «Очерки психологии старшего школьника» (1963) (обе книги в соавторстве с Н.С. Лукиным), «Основы педагогической психологии» (1972), «Психология обучения и воспитания школьников» (1976). В.А. Крутецкий был также одним из авторов учебников психологии для высших учебных заведений (1956, 1962) и автором учебников психологии для педучилищ (1974, 1980, 1985). Все эти книги хорошо известны преподавателям и студентам высших и средних учебных педагогических учебных заведений.

Решая вопрос, как лучше представить научное творческое наследие В.А. Крутецкого, его вклад в психологию в серии «Психологи отечества», что именно из этого наследия сделать достоянием современного читателя - научных работников, преподавателей психологии, студентов университетов и педвузов и психологов-практиков, мы остановили свой выбор на его капитальном труде «Психология математических способностей школьников», вышедшем в издательстве «Просвещение» в 1968 году. В этом труде содержатся богатые, хорошо обоснованные и проанализированные фактические данные о природе и структуре математических способностей школьников, которые еще долго будут сохранять свое научное значение. Он может служить хорошим путеводителем по зарубежной и отечественной литературе по данной проблеме вплоть до 1966 года и методической основой для отбора и разработки диагностических и коррекционных тестовых заданий в области школьной математики. В нем обсуждаются многие непростые и дискуссионные теоретические вопросы проблемы способностей, все еще не получившие окончательного удовлетворительного ответа и до сих пор сохраняющие свою актуальность. Эта книга была удостоена I премии АПН РСФСР и переведена в США, Канаде, Англии, Японии и других странах. Отклики на нее В.А. Крутецкий продолжал получать от психологов разных стран вплоть до последних лет своей жизни. Наконец, данная книга интересна с исторической точки зрения для характеристики определенного этапа развития психологии в нашей стране, а именно этапа первых послевоенных 15-20 лет, когда центром психологической науки был Институт психологии АПН РСФСР, в котором В.А. Крутецкий вел свои исследования по психологии математических способностей с 1955 по 1966 годы.

В настоящем издании книга В.А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» печатается с некоторыми сокращениями.

Из раздела I исключены глава I «Теоретическое и практическое значение проблемы математических способностей на современном этапе развития советской науки и школы», §1 главы II «Развитие исследований по психологии способностей за рубежом» и §1 главы IV «Некоторые вопросы общей теории способностей, которые в основном посвящены критике западной тестологии и обсуждению проблемы врожденного и приобретенного в формировании и развитии способностей. В этих главах и параграфе мало оригинального. Их содержание это по сути некоторая обязательная «идеологическая дань» тому времени, когда писалась книга.

Из раздела II исключена глава III «Методика экспериментального исследования», содержание которой в большей мере повторено в следующих главах.

Из главы IV раздела III исключен §6 «Гипотеза об акцепторе математического действия», содержание которого носит слишком гипотетический характер, практически не связанный с полученными автором фактическими данными.

Из главы VII раздела III исключен §3 «О половых различиях в характеристике математических способностей», поскольку его содержание сводится к тому, что в исследованиях автора таких различий не обнаружено.

Исключена глава VIII раздела III «Математические способности и личность», содержание которой во многом повторяет сказанное в других главах книги.

Наконец, по всему тексту сделаны небольшие купюры, которые отмечены отточиями.

Мы не можем предоставить возможность скачать книгу в электронном виде.

Информируем Вас, что часть полнотекстовой литературы по психолого-педагогической тематике содержится в электронной библиотеке МГППУ по адресу http://psychlib.ru . В случае, если публикация находится в открытом доступе, то регистрация не требуется. Часть книг, статей, методических пособий, диссертаций будут доступны после регистрации на сайте библиотеки.

Электронные версии произведений предназначены для использования в образовательных и научных целях.